Question

19．在直角坐标系xOy中，两坐标系取相同的长度单位，将曲线$\left\{\begin{array}{l}x=5cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数）上每一点的横坐标变为原来的$\frac{1}{5}$（纵坐标不变），然后将所得图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到曲线C；以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为$ρsin（α-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点，与x轴交于点P，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）利用曲线横坐标的变换，将所得图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到曲线$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ+2\\ y=sinθ+3\end{array}\right.$，消去θ得曲线C的普通方程．
（II）设直线l直角坐标方程是y=x+2，求出直线l参数方程，代入曲线C求出t₁t₂=24．得到结果．

解答 解：（I）曲线$\left\{\begin{array}{l}x=5cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$上每一点的横坐标变为原来的$\frac{1}{5}$，得到$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$，
将所得图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到曲线$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ+2\\ y=sinθ+3\end{array}\right.$，
消去θ得曲线C的普通方程是（x-2）²+（y-3）²=1；…（5分）
（II）设直线l直角坐标方程是y=x+2，∴P（-2，0），
直线l倾斜角是45°，参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
代入曲线C得${t^2}-7\sqrt{2}t+24=0$，
△=2＞0，t₁t₂=24，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=24．…（10分）

点评 本题考查曲线的参数方程以及极坐标方程的应用，考查计算能力．