Question

12．已知函数f（x）=sinwxcoswx+$\sqrt{3}{cos^2}wx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（w＞0），直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象在任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{4}$．
（1）求w的值；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=sin（2$ωx+\frac{π}{3}$），由题意根据周期公式即可求得ω的值．
（2）由（1）可得f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$），由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求解析式g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），根据x的范围，由正弦函数的图象和性质即可求得g（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（1）f（x）=sinwxcoswx+$\sqrt{3}{cos^2}wx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\sqrt{3}×\frac{1+cos2ωx}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2ωx$
=sin（2$ωx+\frac{π}{3}$）…（3分）
由题意，最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}$=2×$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=2…（6分）
（2）由（1）可得f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$），…（7分）
将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位后，得到y=sin（4x-$\frac{π}{6}$）的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象…（9分）
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$
∴-$\frac{1}{2}≤$sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1
故g（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值为g（$\frac{π}{3}$）=1，最小值为g（0）=-$\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．