Question

1．如果双曲线的离心率e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题：
①双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{\sqrt{5}-1}=1$是黄金双曲线； 
②双曲线y${\;}^{2}-\frac{2{x}^{2}}{\sqrt{5}+1}=1$是黄金双曲线；
③在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$中，F₁为左焦点，A₂为右顶点，B₁（0，b），若∠F₁ B₁ A₂=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$中，过焦点F₂作实轴的垂线交双曲线于M、N两点，O为坐标原点，若∠MON=120°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为（　　）

• A． ①和②
• B． ②和③
• C． ③和④
• D． ①和④

Answer 1

分析 对于①②求出双曲线的离心率判断正误；
对于③通过∠F₁B₁A₂=90°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误；
对于④，MN经过右焦点F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=120°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误．

解答 解：①双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{\sqrt{5}-1}=1$中a=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{\sqrt{5}+1}$，离心率是$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$，故不是黄金双曲线，即①不正确；
②由双曲线y${\;}^{2}-\frac{2{x}^{2}}{\sqrt{5}+1}=1$，可得离心率e=$\sqrt{1+\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，故该双曲线是黄金双曲线，即②正确；
③∵∠F₁B₁A₂=90°，∴$|{B}_{1}{F}_{1}{|}^{2}+|{B}_{1}{A}_{2}{|}^{2}=|{F}_{1}{A}_{2}{|}^{2}$，∴b²+c²+b²+a²=（a+c）²，化为c²-ac-a²=0，由③可知该双曲线是黄金双曲线；
④如图，MN经过右焦点F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=120°，
∴NF₂=$\sqrt{3}$OF₂，∴$\frac{{b}^{2}}{a}=\sqrt{3}c$，∴b²=$\sqrt{3}$ac，∴c²-a²=$\sqrt{3}$ac，
∴e²-$\sqrt{3}$e-1=0，∴e=$\frac{\sqrt{3}±\sqrt{7}}{2}$，∴该双曲线不是黄金双曲线，
故选：B

点评 本题考查双曲线的基本性质，a，b，c的关系，离心率的求法，考查计算能力．