Question

16．曲线y=xⁿ（n∈N^*）在点（2，2ⁿ）处的切线与x轴交点的横坐标为a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设b_n=（2-a_n）（2-a_n+2），求数列{b_n}的前n项和S_n，求证$\frac{4}{3}≤{S_n}$＜3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出切线方程，然后求解数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）通过b_n=（2-a_n）（2-a_n+2）化简表达式，利用裂项法求解数列的和，即可证明结果．

解答 解：（I）∵曲线y=xⁿ（n∈N^*）在点（2，2ⁿ）处的切线与x轴交点的横坐标为a_n．
∴y'=n•x^n-1，…（2分）
∴切线方程为y-2ⁿ=n•2^n-1（x-2），…（4分）
令y=0，得${a_n}=2-\frac{2}{n}$；…（6分）
（II）∵${b_n}=\frac{4}{n（n+2）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）＞0$，∴${S_n}≥{S_1}=\frac{4}{3}$，…（8分）
∴${S_n}=2（1-\frac{1}{3}）+2（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+…+2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=$2（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）-2（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+2}）$
=$3-\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+2}$，…（10分）
∵n∈N^*，
∴S_n＜3，因此$\frac{4}{3}≤{S_n}＜3$．   …（12分）

点评 本题考查数列与函数相结合，数列求和以及数列与不等式的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．