Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n与S_n满足a_n+S_n=2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=S_n+λS_n+1（n∈N^*），求使数列{b_n}为等比数列的所有实数λ的值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知a₁=1，2a_n+1-a_n=0，n∈N⁺，所以

an+1

an

=

1

2

，由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由Sn=2-

1

2n-1

，知bn=Sn+λ Sn-1=2+2λ-(λ+2)•

1

2n

，n∈N+，由此能推出使数列{b_n}为等比数列的所有实数λ的值．

解答：解：（1）令n=1，有2a₁=2?a₁=1，

an+1+Sn+1=2 an+sn=2

?2a_n+1-a_n=0，n∈N⁺，∴

an+1

an

=

1

2

，
∴a_n是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，∴an=

1

2n-1

．

（2）由（1）知Sn=2-

1

2n-1

，
∴bn=Sn+λ Sn-1=2+2λ-(λ+2)•

1

2n

，n∈N+，
b1=

2+3λ

2

，b2=

6+7λ

4

，b3=

14+15λ

8

．
∵b_n为等比数列，∴b₂²=b₁•b₃，解得λ=-1或λ=-2．
当λ=-1时，bn=-

1

2n

，{b_n}为等比数列；
当λ=-1时，b_n=-2，{b_n}为等比数列；
综上，使数列{b_n}为等比数列的所有实数λ的值为一1或-2．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．