Question

【题目】如图，三棱锥的侧面是等腰直角三角形，，，，且．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点为，连接，可证 ，从而平面即平面平面．

（2）在平面中过作交于，计算平面、平面的法向量后再计算它们夹角的余弦值可得二面角的余弦值．我们也可以通过等积法计算到平面的距离，通过解三角形得到到的距离，两者结合可得二面角的正弦值后可得其余弦值．

（1）证明：如图，取 中点，连结，因为是等腰直角三角形，

所以，

设，则，

在中，由余弦定理得：

，

因为，，

所以，即，又，，

所以平面，因平面，

所以平面平面；

（2）过点在平面内作交于点，由（1）知平面，

分别以为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，

不妨设，

则：，

则，，，

设平面的法向量，

则，取，

设平面的法向量，

则，取，

所以，

因为二面角的平面角是锐角，

所以二面角的余弦值为.

解法二：过点作于点，

设在平面上的射影为，连接，

则，所以为所求二面角的平面角，

设,则,

在中，,

所以,

在中，,所以,

由,

所以,

即,

在中，,

所以,

所以二面角的余弦值为.