Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5．函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数，且在[1，4]上是二次函数，在x=2时函数取最小值-5．试求：
（1）f（1）+f（4）的值；
（2）y=f（x），x∈[1，4]的解析式．

Answer 1

考点：函数的周期性,函数解析式的求解及常用方法,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由周期性可得f（4）=f（-1），再由奇函数可得f（-1）=-f（1）=f（4），移项可得；（2）由二次函数的性质当设f（x）=a（x-2）²-5（a≠0），由f（1）+f（4）=0可得a的方程，解方程可得．

解答： 解：（1）∵y=f（x）是以5为周期的周期函数，
∴f（4）=f（5-1）=f（-1），
又y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数，
∴f（-1）=-f（1）=f（4），
∴f（1）+f（4）=0；
（2）当x∈[1，4]时，
由题意可知f（x）=a（x-2）²-5（a≠0）
由f（1）+f（4）=0得a（1-2）²-5+a（4-2）²-5=0．
解得a=2．
∴f（x）=2（x-2）²-5=2x²-8x+3（1≤x≤4）．

点评：本题考查函数的性质，涉及周期性和奇偶性以及待定系数法求解析式，属基础题．