Question

设函数f（x）=x³+ax²+bx（a∈R），已知曲线y=f（x）在点M（-1，f（-1））处的切线方程是y=4x+3．
（Ⅰ）求a，b的值；并求出函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-1，1]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求f′（x）=3x²+2ax+b，根据函数在切点处的导数等于切线的斜率和切点在切线上得出两个关于a，b的方程，即可求出a，b：a=b=1．这样便得到f′（x）=3x²-2x-1，这样找使f′（x）＞0，和f′（x）＜0的x的取值，从而求出增区间和减区间；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出的单调区间，即可判断f（x）取极值的情况，并且求出端点值，即可求出函数f（x）的最值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b；
由已知条件得：

f′(-1)=3-2a+b=4 f(-1)=-1+a-b=-4+3

；
解得a=b=-1；
∴f（x）=x³-x²-x，f′（x）=3x²-2x-1；
令3x²-2x-1=0得：x=-

1

3

，或1；
∴x∈（-∞，-

1

3

）时，f′（x）＞0；x∈（-

1

3

，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）的单调增区间是：（-∞，-

1

3

]，[1，+∞）；单调减区间是：（-

1

3

，1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）在[-1，-

1

3

]上单调递增；在（-

1

3

，1]上单调递减；
∴f（-

1

3

）=

2

27

是f（x）的极大值，又f（-1）=-1，f（1）=-1；
∴函数f（x）的最大值是

2

27

，最小值是-1．

点评：考查函数在切点处的导数和切线斜率的关系，切点在切线上，满足切线的方程，极值的概念，求最值的方法．