Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，过点A（2，0）作弦PA⊥QA，P、Q均在椭圆上，试问直线PQ是否经过一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：对于是否过x轴上的一定点问题，可先假设存在，设直线AP的斜率为k，则AP：y=k（x-2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系即可求得P点的坐标，从而解决问题．

解答： 解：设直线AP的斜率为k，则AP：y=k（x-2），
与椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1联立，化简得：（3+4k²）x²-16k²x+16k²-12=0．
∵此方程有一根为2，∴x_P=

8k2

3+4k2

，y_P=

-6k

3+4k2

同理可得x_Q=

8

4+3k2

，y_Q=

6k

4+3k2

．
∴k_PQ=

7k

4(1-k2)

∴直线PQ：y-

6k

4+3k2

=

7k

4(1-k2)

（x-

8

4+3k2

），
化简可得：y=

k

4(1-k2)

(7x-8)，
令y=0，可得x=

8

7

，
∴直线MN过x轴上的一定点（

8

7

，0）．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系及综合应用、直线过定点问题．考查推理能力和运算能力．