Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-2(a+2)lnx+ax，a∈R
（1）当a=-1时，求函数f（x）的最小值；
（2）是否存在实数a，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最小值；
（2）（

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，即f′（x）=x-

2(a+2)

x

+a＞a恒成立，由此可求a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=

1

2

x2-2lnx-x，则f′（x）=x-

2

x

-1=

(x-2)(x+1)

x

，
∴函数在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴x=2时，函数f（x）的最小值为-2ln2；
（2）∵

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，
∴f′（x）=x-

2(a+2)

x

+a＞a恒成立，
∴2（a+2）＜x²，
∴a+2≤0，
∴a≤-2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．