Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x-y+

2

=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=4，求证：直线AB过定点；
（Ⅲ）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点D、E，当△ODE面积最大时，求|DE|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由等轴双曲线的离心率为

2

，根据条件得到椭圆的离心率为e=

2

2

，再由直线与圆相切，得b=1，由离心率公式得a²=2，从而有椭圆方程；
（Ⅱ）讨论①若直线AB的斜率存在，设直线AB：：y=kx+m，m≠±1，联立椭圆方程和直线方程，运用韦达定理，由已知k₁+k₂=4，运用斜率公式，化简整理，得到m=

k

2

-1，从而得到AB：y=kx+

k

2

-1，则AB恒过定点（-

1

2

，-1）；②若直线AB斜率不存在，设AB：x=x₀，由条件求出直线AB：x=-

1

2

，故直线AB也过定点（-

1

2

，-1）．
（Ⅲ）设直线l：y=tx+2，设D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），联立椭圆方程和直线l的方程，运用韦达定理，弦长公式求出O到直线l的距离d，求出△ODE的面积S=

1

2

d•|DE|=

2 2 2t2-3

1+2t2

，令u=

2t2-3

＞0，则2t²=u²+3，再运用基本不等式，即可求出最大值．

解答： （Ⅰ）解：∵等轴双曲线的离心率为

2

，
∴由离心率互为倒数，得椭圆的离心率为e=

2

2

，即e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

，
即a²=2b²，
∵直线l：x-y+

2

=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆x²+y²=b²相切．
∴b=1，a²=2，
即椭圆的方程为：

x2

2

+y²=1．
（Ⅱ）证明：①若直线AB的斜率存在，设直线AB：：y=kx+m，m≠±1，M（0，1）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立椭圆方程和直线方程，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

，由已知k₁+k₂=4，可得

y1-1

x1

+

y2-1

x2

=4
即

kx1+m-1

x1

+

kx2+m-1

x2

=4，2k-4+（m-1）

x1+x2

x1x2

=0，
将x₁+x₂，x₁x₂代入得到，k=2（m+1），即m=

k

2

-1，
则AB：y=kx+

k

2

-1，即y=k（x+

1

2

）-1，AB恒过定点（-

1

2

，-1）；
②若直线AB斜率不存在，设AB：x=x₀，则A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），由

y0-1

x0

+

-y0-1

x0

=4，
得x₀=-

1

2

，故直线AB：x=-

1

2

，故直线AB也过定点（-

1

2

，-1）．
综上，直线AB恒过定点（-

1

2

，-1）．
（Ⅲ）设直线l：y=tx+2，设D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），联立椭圆方程和直线l的方程，
得到（1+2t²）x²+8tx+6=0
由△＞0得t²＞

3

2

，x₃+x₄=-

8t

1+2t2

，x₃x₄=

6

1+2t2

，
则|DE|=

1+t2

|x₃-x₄|=

1+t2

•

16t2-24

1+2t2

由O到直线l的距离d=

2

1+t2

，
故△ODE的面积S=

1

2

d•|DE|=

2 2 2t2-3

1+2t2

，
令u=

2t2-3

＞0，则2t²=u²+3，
则S=

2 2 u

u2+4

=

2 2

u+ 4 u

≤

2 2

2 4

=

2

2

．
当且仅当u=2，即t=±

14

2

，|DE|=

3

2

，△ODE的面积最大．

点评：本题考查椭圆和双曲线方程、性质：离心率的求法，直线与圆的位置关系：相切，考查直线与椭圆的位置关系，联立椭圆方程和直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线的斜率是否存在，以及化简整理的运算能力，属于综合题．