Question

已知函数f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）讨论函数h（x）=

f(x)

x

的单调性；
（2）如果对任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=

f(x)

x

的单调性；
（2）求出g（x）_max=g（2）=1，当x∈[

1

2

，2]时，f（x）=

a

x

+xlnx恒成立，等价于a≥x-x²lnx恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x-x²lnx在区间[

1

2

，2]上取得最大值，则实数a的取值范围可求．

解答： 解：（1）h（x）=

f(x)

x

=

a

x2

+lnx，h′（x）=

x2-2a

x3

，
①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增
②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（

2a

，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（

2a

，+∞），
h'（x）＜0，则x∈（0，

2a

），函数h（x）的单调递减区间为（0，

2a

），．
（2）g（x）=x³-x²-3，g′（x）=3x（x-

2

3

），

x	1 2	( 1 2 ， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，2)	2
g′（x）	0	-	0	+
g（x）	-3	递减	极小值	递增	1

由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）_max=g（2）=1
所以当x∈[

1

2

，2]时，f（x）=

a

x

+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x-x²lnx恒成立，
记u（x）=x-x²lnx，所以a≥u（x）_max，u′（x）=1-x-2xlnx，可知u′（1）=0，
当x∈（

1

2

，1）时，1-x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（

1

2

，2）上单调递增；
当x∈（1，2）时，1-x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；
故当x=1时，函数u（x）在区间[

1

2

，2]，上取得最大值u（1）=1，
所以a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，属于中档题．