Question

函数y=f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是单调递增的，f（-3）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）

A．{x|x＜-3，或0＜x＜3}

B．{x|-3＜x＜0，或x＞3}

C．{x|x＜-3，或x＞3}

D．{x|-3＜x＜0，或0＜x＜3}

Answer 1

分析：根据奇函数f（-3）=0，可得f（3）=0．然后由f（x）的奇偶性和单调性，得到xf（x）在R上各个区间内的符号，再加以综合即可得到不等式xf（x）＞0的解集．

解答：解：∵y=f（x）是奇函数，且f（-3）=0，∴-f（3）=0，可得f（3）=0
∵y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴当x∈（0，3）时，f（x）＜f（3）=0，此时xf（x）＜0；当x∈（3，+∞）时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0
又∵奇函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴y=f（x）在（-∞，0）上单调递增，
可得：当x∈（-∞，-3）时，f（x）＜f（-3）=0，此时xf（x）＞0；当x∈（-3，0）时，f（x）＞0，此时xf（x）＜0
综上所述，可得不等式xf（x）＞0的解集为（-∞，-3）∪（3，+∞）
故选：C

点评：本题给出函数y=f（x）的奇偶性和单调性，求不等式xf（x）＞0的解集．着重考查了函数的奇偶性、单调性与不等式的解法等知识，属于基础题．