Question

（2013•鹰潭一模）如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
（I）求证：BC⊥平面APC；
（Ⅱ）若BC=3，AB=1O，求点B到平面DCM的距离．

Answer 1

分析：（I）根据正三角形三线合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；
（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有V_M-BCD=V_B-MDC．分别求出MD长，及△BCD和△MDC面积，利用等积法可得答案．

解答：证明：（Ⅰ）如图，
∵△PMB为正三角形，
且D为PB的中点，
∴MD⊥PB．
又∵M为AB的中点，D为PB的中点，
∴MD∥AP，
∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC?平面PBC
∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，
又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，
∴BC⊥平面APC，…（6分）
解：（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有V_M-BCD=V_B-MDC．
∵AB=10，
∴MB=PB=5，
又BC=3，BC⊥PC，
∴PC=4，
∴S△BDC=

1

2

S△PBC=

1

4

PC•BC=3．
又MD=

5 3

2

，
∴VM-BCD=

1

3

MD•S△BDC=

5 3

2

．
在△PBC中，CD=

1

2

PB=

5

2

，
又∵MD⊥DC，
∴S△MDC=

1

2

MD•DC=

25

8

3

，
∴VB-MDC=

1

3

h•S△MDC=

1

3

•h•

25

8

3

=

5 3

2

∴h=

12

5

即点B到平面DCM的距离为

12

5

．     …（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，点到平面的距离，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的相互转化，（2）的关键是等积法的使用．