Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD= ，M为BC上的一点，且BM= ，MP⊥AP．

（1）求PO的长；
（2）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接AC，BD，

∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，

故AC∩BD=O，且AC⊥BD，

以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，

∵AB=2，∠BAD= ，

∴OA=ABcos（ ∠BAD）= ，OB=ABsin（ ∠BAD）=1，

∴O（0，0，0），A（ ，0，0），B（0，1，0），C（﹣ ，0，0），

=（0，1，0）， =（﹣ ，﹣1，0），

又∵BM= ，

∴ =（﹣ ，﹣ ，0），

则 = + =（﹣ ， ，0），

设P（0，0，a），则 =（﹣ ，0，a）， =（ ，﹣ ，a），

∵MP⊥AP，

∴ = ﹣a2=0，

解得a= ，

即PO的长为 ．

（2）解：由（1）知 =（﹣ ，0， ）， =（ ，﹣ ， ）， =（ ，0， ），

设平面APM的法向量 =（x，y，z），平面PMC的法向量为 =（a，b，c），

由 ，得 ，

令x=1，则 =（1， ，2），

由 ，得 ，

令a=1，则 =（1，﹣ ，﹣2），

∵平面APM的法向量 和平面PMC的法向量 夹角θ满足：

cosθ= = =﹣

故sinθ= =

【解析】（1）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量 ， 的坐标，进而根据MP⊥AP，得到 =0，进而求出PO的长；（2）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值