【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,底面
是直角梯形,
,
,
是
上的一点.
(1)求证:平面平面
;
(2)若是
的中点,
,且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)证明AC⊥PC,AC⊥BC,得到AC⊥平面PBC,然后证明平面EAC⊥平面PBC.
(2)以C为原点,建立空间直角坐标系,求出面PAC的法向量.面EAC的法向量,然后求解二面角的余弦函数值.
(1)证明:∵PC⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
∴AC⊥PC,AB=2,AD=CD=1,
∴,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC,∵AC平面EAC,
∴平面EAC⊥平面PBC.
(2)以C为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,﹣1,0),
设P(0,0,a)(a>0),则E(,
,
),
∴(1,1,0),
(0,0,a)(a>0),
(
,
,
),
(1,1,﹣a),
设(x,y,z)为平面PAC的法向量,
则,可取
(1,﹣1,0)
同理平面EAC的法向量(a,﹣a,﹣2),
依题意,设直线PA与平面EAC所成角为θ,
则sinθ=|cos,
|
,
解得a=2,或a=1(舍去,此时不满足),
∴(2,﹣2,﹣2),
∴|cos,
|
∴平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为
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【题目】设,定义
(
,且
为常数),若
,
,
.以下四个命题中为真命题的是__________.
①不存在极值;②若
的反函数为
,且函数
与函数
有两个公共点,则
;③若
在
上是减函数,则实数
的取值范围是
;④若
,则在
的曲线上存在两点,使得过这两点的切线互相垂直.
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【题目】已知椭圆经过点M(﹣2,﹣1),离心率为
.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论.
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【题目】已知甲乙两辆车去同一货场装货物,货场每次只能给一辆车装货物,所以若两辆车同时到达,则需要有一车等待.已知甲、乙两车装货物需要的时间都为20分钟,倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场,则至少有一辆车需要等待装货物的概率是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,异面直线A1B与B1C1所成的角为60°.
(1)求该三棱柱的体积;
(2)设D是BB1的中点,求DC1与平面A1BC1所成角的正弦值.
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【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定:机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”,《中华人民共和国道路交通安全法》 第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分,罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
违章驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程
;
(2)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人,调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系,得到如下列联表:能否据此判断有
的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关?
不礼让斑马线 | 礼让斑马线 | 合计 | |
驾龄不超过1年 | 22 | 8 | 30 |
驾龄1年以上 | 8 | 12 | 20 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
参考公式及数据:
.
(其中
)
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【题目】已知椭圆的离心率为
,直线
与
相切于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆
交于不同的两点
,
,与直线
相交于
(
,
,
,
均不重合).证明:
为定值.
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【题目】已知椭圆的中心在原点,离心率等于
,它的一个短轴端点恰好是抛物线
的焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知、
是椭圆上的两点,
是椭圆上位于直线
两侧的动点.
①若直线的斜率为
,求四边形
面积的最大值;
②当运动时,满足
,试问直线
的斜率是否为定值,请说明理由.
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