【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,异面直线A1B与B1C1所成的角为60°.
(1)求该三棱柱的体积;
(2)设D是BB1的中点,求DC1与平面A1BC1所成角的正弦值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)如图,以A点为原点,为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系.利用异面直线A1B与B1C1所成的角为60°求得h=1即得该三棱柱的体积.(2)利用向量法求DC1与平面A1BC1所成角的正弦值.
(1)如图,以A点为原点,为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系.
设AA1=h,则B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,h),
则=(-1,0,h),
=(-1,1,0).
因为直线A1B与B1C1所成的角为60°,
所以|cos<>|=
,
解得h=1.
于是三棱柱体积V=Sh=×1×1=
.
(2)由(1)知=(-1,0,1),C1(0,1,1),
=(-1,1,1).
设平面A1BC1的法向量n=(x,y,z),
则可取n=(1,0,1).
又因为D.
于是sin θ=|cos<,n>|=
,
所以DC1与平面A1BC1所成角的正弦值为.
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【题目】设抛物线的焦点为
,准线为
,点
在抛物线
上,已知以点
为圆心,
为半径的圆
交
于
两点.
(Ⅰ)若,
的面积为4,求抛物线
的方程;
(Ⅱ)若三点在同一条直线
上,直线
与
平行,且
与抛物线
只有一个公共点,求直线
的方程.
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【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定:机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”,《中华人民共和国道路交通安全法》 第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分,罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
违章驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)请利用所给数据求违章人数y与月份之间的回归直线方程+
(2)预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数;
(3)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人,调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系,得到如下2列联表:
不礼让斑马线 | 礼让斑马线 | 合计 | |
驾龄不超过1年 | 22 | 8 | 30 |
驾龄1年以上 | 8 | 12 | 20 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
能否据此判断有97.5的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关?
参考公式及数据:,
.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(其中n=a+b+c+d)
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【题目】设椭圆的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为
,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于
,
两点,
与直线
交于点M,且点P,M均在第四象限.若
的面积是
面积的2倍,求
的值.
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【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,底面
是直角梯形,
,
,
是
上的一点.
(1)求证:平面平面
;
(2)若是
的中点,
,且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求二面角
的余弦值.
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【题目】下列说法错误的是
A. 对分类变量X与Y,随机变量K2的观测值k越大,则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
B. 在回归直线方程=0.2x+0.8中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量
平均增加0.2个单位
C. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1
D. 回归直线过样本点的中心(,
)
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【题目】若函数同时满足:(1)对于定义域内的任意
,有
;(2)对于定义域内的任意
,当
时,有
,则称函数
为“理想函数”.给出下列四个函数:①
;②
;③
;④
.
其中是“理想函数”的序号是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
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【题目】某影院共有1000个座位,票价不分等次,根据该影院的经营经验,当每张票价不超过10元时,票可全部售出,当每张票价高于10元时,每提高1元,将有30张票不能售出,为了获得更好的收益,需给影院一个合适的票价,符合的基本条件是:
①为了方便找零和算账,票价定为1元的整数倍;
②影院放映一场电影的成本费为5750元,票房收入必须高于成本支出.
(1)设定价为(
)元,净收入为
元,求
关于
的表达式;
(2)每张票价定为多少元时,放映一场的净收入最多?此时放映一场的净收入为多少元?
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【题目】某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取2000名进行调查,将受访用户按年龄分成5组: 并整理得到如下频率分布直方图:
(1)求的值;
(2)从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人,估计其年龄低于40岁的概率;
(3)估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄.
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