Question

若定义在[0，1]上的函数f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．则称函数f（x）为“梦函数”．
（1）试验证f（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否为“梦函数”；
（2）若函数f（x）为“梦函数”，求f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）的解析式，依次判断对于三个条件是否成立，对于①求出值域即可判断，对于②代入求值即可，对于③作差化简判断符号即可，从而得到答案；
（2）根据“梦函数”的定义，利用条件③，可以证明f（x）在[0，1]上为单调递增函数，再利用①②，求出f（0）和f（1），即可得到函数f（x）的最值．

解答：解：（1）∵x∈[0，1]，则2^x-1∈[0，1]，且f（1）=2¹-1=1，
∴满足①f（x）≥0，②f（1）=1，
∵x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，
∴f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=2x1+x2-2x1-2x2+1=（2x1-1）（2x2-1）≥0，
∴满足③若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
故函数f（x）=2^x-1在区间[0，1]上是“梦函数”；
（2）根据题意中“梦函数”应该满足的条件，则有任意的x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₂-x₁+x₁）≤f（x₁）-[f（x₁）+f（x₂）]=-f（x₂）≤0，
∴f（x₁）≤f（x₂），
∴f（x）在[0，1]上单调递增，
令x₁=x₂=0，
∵x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，
∴f（0）≥2f（0），又f（x）≥0，
∴f（0）=0，
∴当x=0时，f（x）取最小值f（0）=0，
当x=1时，f（x）取最大值f（1）=1．

点评：本题考查了新定义问题，要注意应用定义中所给的信息．同时考查了抽象函数的应用，涉及了应用函数单调性的定义证明函数的单调性，涉及了求函数的值域问题，是一个综合应用的题目．属于中档题．