Question

已知函数f（x）的定义域为R，并满足以下三个条件：
①对于一切实数x，都有f（x）＞0；
②对任意的x，y∈R，f（xy）=[f（x）]^y；  
③f（

1

3

）＞1；
（1）求f（0）的值，并判断f（x）的单调性；
（2）若f（3^x）-f（9^x-3^x+1-2K）＞0对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数K的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据条件f（xy）=[f（x）]^y；令x=

1

3

，y=0，可得f（0），利用赋值法求f（1），然后根据指数函数的性质确定函数的单调性．
（2）利用函数的单调性将不等式转化为3^x＞9^x-3^x+1-2K，然后利用指数不等式的性质求K的取值范围．

解答：解：（1）因为f（x）＞0，任意的x，y∈R，f（xy）=[f（x）]^y，所以令x=

1

3

，y=0，
则f（0）=[f（

1

3

）]⁰=1，即f（0）=1．
令x=

1

3

，y=3得f(1)=f(

1

3

×3)=[f(

1

3

)]3，因为f（

1

3

）＞1，所以f(1)=f(

1

3

×3)=[f(

1

3

)]3＞1．
令x=1，则f（xy）=f（y）=[f（1）]^y，
即f（x）=[f（1）]^x，为底数大于1的指数函数，所以函数f（x）在R上单调递增．
（2）由f（3^x）-f（9^x-3^x+1-2K）＞0得f（3^x）＞f（9^x-3^x+1-2K），因为函数单调递增，则3^x＞9^x-3^x+1-2K，
即2K＞9^x-3^x+1-3^x=9^x-4•3^x=（3^x-2）²-4，
因为x∈[0，1]，所以1≤3^x≤3，所以当3^x=2时，函数y=（3^x-2）²-4取得最小值-4，当3^x=1或3时，函数y=（3^x-2）²-4取得最大值-3，
所以2K＞-3，解得K＞-

3

2

，所以实数K的取值范围是K＞-

3

2

．

点评：本题主要考查抽象函数的应用和性质，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，综合性较强，运算量较大．