Question

19．已知函数f（x）=ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$，g（x）=e^x-2，对?m∈R，?n∈（0，+∞）使得g（m）=f （n）成立，则n-m的最小值为（　　）

• A． -ln 2
• B． ln 2
• C． 2$\sqrt{e}$-3
• D． e2-3

Answer 1

分析 由g（m）=f （n），求出m的表达式，从而得出n-m的表达式，设h（x）=$\frac{{e}^{x-2}}{ln\frac{x\sqrt{e}}{2}}$，求得导数，求出单调区间和极小值，也为最小值，进而求出n-m的最小值．

解答 解：根据题意，g（m）=f （n）
即e^m-2=ln$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴m=2+ln（ln$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$），
∴n-m=n-2-ln（ln$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$），
=lne^n-2-ln（ln$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$），
=ln$\frac{{e}^{n-2}}{ln\frac{n\sqrt{e}}{2}}$，
设h（x）=$\frac{{e}^{x-2}}{ln\frac{x\sqrt{e}}{2}}$，
则h′（x）=$\frac{{e}^{x-2}（ln\frac{x}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{x}）}{（ln\frac{x}{2}+\frac{1}{2}）^{2}}$，
令h′（x）=0，得ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{x}$=0，
由x＞0，可得ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{x}$递增，
当x=2时，h′（x）=0，
x＞2时，h′（x）＞0，h（x）递增；
0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）递减．
可得x=2处取得极小值且为最小值h（2）=2，
则n-m的最小值为ln2．
故选：B．

点评 本题考查了求函数最值的问题，解题的关键是建立目标函数，利用导数求目标函数的最值，是较难的题目．