Question

15．已知函数f（x）=ax²（a＞0），点A（5，0），P（1，a），若存在点Q（k，f（k））（k＞0），要使$\overrightarrow{OP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{OA}}{|OA|}$+$\frac{\overrightarrow{OQ}}{|OQ|}$）（λ为常数），则k的取值范围为（2，+∞）．

Answer 1

分析 根据向量$\overrightarrow{OP}$和$\frac{\overrightarrow{OA}}{|OA|}$+$\frac{\overrightarrow{OQ}}{|OQ|}$共线得出a，k的关系式，化简即可得出k=$\frac{2}{1-{a}^{2}}$．根据条件得出0＜1-a²＜1，

解答 解：Q（k，ak²），$\frac{\overrightarrow{OA}}{|OA|}$=（1，0），$\frac{\overrightarrow{OQ}}{|OQ|}$=（$\frac{k}{\sqrt{{a}^{2}{k}^{4}+{k}^{2}}}$，$\frac{a{k}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}{k}^{4}+{k}^{2}}}$），$\overrightarrow{OP}$=（1，a）．
∴$\frac{\overrightarrow{OA}}{|OA|}$+$\frac{\overrightarrow{OQ}}{|OQ|}$=（1+$\frac{k}{\sqrt{{a}^{2}{k}^{4}+{k}^{2}}}$，$\frac{a{k}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}{k}^{4}+{k}^{2}}}$），
∵$\overrightarrow{OP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{OA}}{|OA|}$+$\frac{\overrightarrow{OQ}}{|OQ|}$）（λ为常数），
∴$\frac{a{k}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}{k}^{4}+{k}^{2}}}$-a（1+$\frac{k}{\sqrt{{a}^{2}{k}^{4}+{k}^{2}}}$）=0，
∴ak²-ak=a$\sqrt{{a}^{2}{k}^{4}+{k}^{2}}$=ak$\sqrt{{a}^{2}{k}^{2}+1}$，
∴k-1=$\sqrt{{a}^{2}{k}^{2}+1}$，即k²-2k+1=a²k²+1，
若a=1，则k=0，不符合题意；
∴a≠1，∴k=$\frac{2}{1-{a}^{2}}$．
∵a＞0且a≠1，k＞0，
∴0＜1-a²＜1，
∴$\frac{2}{1-{a}^{2}}$＞2．
故答案为（2，+∞）．

点评 本题考查了向量的共线定理，二次函数的性质，属于中档题．