Question

【题目】已知函数图象的一条切线为.

（1）设函数，讨论的单调性；

（2）若函数的图象恒与x轴有两个不同的交点M(，0)，N(，0)，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】分析：(1)先根据导数几何意义得切点坐标，代入函数解析式得，再求的导数，根据b讨论导函数零点，进而得单调性，(2)先求导数，转化为+>2，再构造函数，x∈(1，2)，利用导数易得(x)在(1，2)上单调递增，即得()>(1)=0，即()>(2)，最后根据()=()，证得结论成立.

详解：（1），设切点，则切线斜率

∴，即切点，故，

∴

∴

①当时，，∴增区间，无减区间；

②当时，令，得；令，得

∴增区间，减区间

（2）依题意及（1）得函数，则，

∴当0<x<1时，；当x>1时，，

∴函数在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，

∴

∵函数的图象恒与x轴有两个不同的交点M(，0)，N(，0)，

且当x趋近于0时，趋近于∞，当x趋近于+∞时，趋近于∞，

∴1m>0，m<1，且≠，

故不妨设<，则0<<1<．

要证()<0，需证>1，即+>2，

当≥2时，显然成立．

当1<<2时，令，x∈(1，2)，

∵，∴(x)=ln xln(2x)2x+2，

=+2=>0，x∈(1，2)，

∴(x)在(1，2)上单调递增，∴()>(1)=0，即()>(2)，

又由题意知()=()，∴()>(2)．

∵在(0，1)上单调递增，∈(0，1)，2∈(0，1)，

∴>2，即+>2．综上可得，+>2，即证．