Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）由直三棱柱侧棱与底面垂直可得，结合已知，得到平面，从而得到平面平面；

（2）取的中点，连接，．由三角形中位线定理可得，且，得到四边形为平行四边形，进一步得到．由线面平行的判定得到平面；

（3）由已知求解直角三角形得到，求得底面积，代入三棱锥体积公式求得三棱锥的体积．

解析：（1）证明：在三棱柱中，

底面，所以.

又因为，，

所以平面，

又平面，

所以平面平面

（2）证明：取的中点，连接，.

因为，，分别是，，的中点，

所以，且，.

因为，且，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以.

又因为平面，平面，所以平面.

（3）因为，，，所以.

所以三棱锥的体积

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