Question

【题目】已知椭圆与x轴负半轴交于，离心率.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C交于两点，连接AM,AN并延长交直线x=4于两点，若，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直线恒过定点,详见解析

【解析】

（1）依题意由椭圆的简单性质可求出，即得椭圆C的方程；

（2）设直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程可求得点的坐标，同理可求出点的坐标，根据的坐标可求出直线的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标．

（1）由题有，.∴，∴.∴椭圆方程为.

（2）设直线的方程为：，则

∴或，∴，同理，

当时，由有.∴，同理，又

∴，

当时，∴直线的方程为

∴直线恒过定点，当时，此时也过定点..

综上:直线恒过定点.