Question

6．已知函数f（x）=ax³-3ax²-（x-3）e^x+1在（0，2）内有两个极值点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$\frac{e}{3}}$）
• B． （${\frac{e}{3}$，e²）
• C． （${\frac{e}{3}$，$\frac{e^2}{6}}$）
• D． （${\frac{e}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 求出f′（x）=（3ax-e^x）（x-2），设h（x）=3ax-e^x，则h（x）=3ax-e^x在（0，2）内有两个零点，由h′（x）=3a-e^x=0，得x=ln（3a），求出h（x）取极大值h（ln（3a））=3aln（3a）-3a，由h（x）在（0，2）时有两个零点，列出不等式组，能求出函数f（x）=ax³-3ax²-（x-3）e^x+1在（0，2）内有两个极值点时实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=ax³-3ax²-（x-3）e^x+1，
∴f′（x）=3ax²-6ax+（2-x）e^x=（3ax-e^x）（x-2），
设h（x）=3ax-e^x，
∵函数f（x）=ax³-3ax²-（x-3）e^x+1在（0，2）内有两个极值点，
∴由题意得f′（x）在（0，2）内有两个零点，
∵x-2在（0，2）内恒小于0，∴h（x）=3ax-e^x在（0，2）内有两个零点，
h′（x）=3a-e^x，
由h′（x）=3a-e^x=0，得x=ln（3a），
当x＞ln（3a）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＜ln（3a）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
∴x=ln（3a）时，h（x）取极大值h（ln（3a））=3aln（3a）-3a，
∴要使h（x）在（0，2）时有两个零点，需满足：
$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=3a×0-1=-1＜0}\\{h（2）=6a-{e}^{2}＜0}\\{h（ln（3a））=3aln（3a）-3a＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{e}{3}＜a＜\frac{{e}^{2}}{6}$．
∴函数f（x）=ax³-3ax²-（x-3）e^x+1在（0，2）内有两个极值点，
则实数a的取值范围为（$\frac{e}{3}$，$\frac{{e}^{2}}{6}$）．
故选：C．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的最值、零点、导数性质、构造法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．