Question

1．如图所示，已知正六边形ABCDEF的边长为2，O为它的中心，将它沿对角线FC折叠，使平面ABCF⊥平面FCDE，点G是边AB的中点．
（Ⅰ）证明：平面BFD⊥平面EGO；
求二面角O-EG-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出OE⊥FD，从而GO⊥平面FCDE，进而GO⊥DF，由此能求出DF⊥平面EGO，从而能证明平面BFD⊥平面EGO．
（Ⅱ）取DE的中点H，则OH⊥FC，分别以边OG，OC，OH所在直线为x，y，z轴，建立的空间直角坐标系，由此能求出二面角O-EG-F的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵O是正六边形ABCDEF的中心，∴OE⊥FD，
∵平面ABCF⊥平面FCDE，
平面ABCF∩平面 FCDE=FC，GO?平面ABCF，
∴GO⊥平面FCDE．
∵DF?平面FCDE，∴GO⊥DF．…（2分）
∵EO?平面EOG，GO?平面EOG，EO∩GO=O，
∴DF⊥平面EGO．…..（4分）
∵DF?平面DFB，∴平面BFD⊥平面EGO．（5分）
解：（Ⅱ）取DE的中点H，则OH⊥FC．
分别以边OG，OC，OH所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
由AB=2，得$G（\sqrt{3}，0，0）$，$D（0，1，\sqrt{3}）$，$E（0，-1，\sqrt{3}）$，F（0，-2，0），…（6分）
则$\overrightarrow{FD}=（0，3，\sqrt{0}）$，$\overrightarrow{FE}=（0，1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{FG}=（\sqrt{3}，2，0）$．
由（Ⅰ）知：DF⊥平面EGO．
∴平面EGO的一个法向量为$\overrightarrow{FD}=（0，3，\sqrt{3}）$…．（8分）
设平面EFG的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{FE}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{FG}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y+\sqrt{3}z=0\\ \sqrt{3}x+2y=0.\end{array}\right.$
令$y=\sqrt{3}$，则z=-1，x=-2．∴$\overrightarrow m=（-2，\sqrt{3}，-1）$．…（11分）
∵二面角O-EG-F的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{{（-2，\sqrt{3}，-1）•（0，3，\sqrt{3}）}}{{\sqrt{4+3+1}•\sqrt{0+9+3}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
∴二面角O-EG-F的余弦值为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．