Question

12．已知定义在R上的函数f（x），若对任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＜x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称函数f（x）为“D函数”．给出以下四个函数：①f（x）=e^x+x；②f（x）=-x³-2x；③f（x）=e^-x；④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$，其中“D函数”的序号为（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ②③④

Answer 1

分析 转化已知条件，推出函数的单调性，判断四个函数：①f（x）=e^x+x；②f（x）=-x³-2x；③f（x）=e^-x；④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$，其中“D函数”的序号即可．

解答 解：定义在R上的函数f（x），若对任意两个不相等的实数x₁，x₂，
都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＜x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称函数f（x）为“D函数”．
即：x₁（f（x₁）-f（x₂））+x₂（f（x₂）-f（x₁））＜0，
可得（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，
即：$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$，
说明函数是减函数．
①f（x）=e^x+x是增函数；
②f（x）=-x³-2x是减函数；
③f（x）=e^-x；是减函数；
④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$，是偶函数，不是减函数；
所以四个函数：①f（x）=e^x+x；②f（x）=-x³-2x；③f（x）=e^-x；④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$，其中“D函数”的序号为：②③．
故选：C．

点评 本题考查函数与方程的应用，函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力．