Question

2．设函数f（x）=-e^x-x图象上任意一点处的切线为l₁，函数g（x）=ax+2cosx的图象上总存在一条切线l₂，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围为[-1，2]．

Answer 1

分析 求出函数f（x）=-e^x-x的导函数，进一步求得$\frac{1}{{e}^{x}+1}$∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=-e^x-x上任意一点的切线为l₁，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l₂，使得l₁⊥l₂转化为集合间的关系求解．

解答 解：由f（x）=-e^x-x，得f′（x）=-e^x-1，
∵e^x+1＞1，∴$\frac{1}{{e}^{x}+1}$∈（0，1），
由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a-2sinx，
又-2sinx∈[-2，2]，
∴a-2sinx∈[-2+a，2+a]，
要使过曲线f（x）=-e^x-x上任意一点的切线为l₁，
总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l₂，使得l₁⊥l₂，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2+a≤0}\\{2+a≥1}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤2．
即a的取值范围为-1≤a≤2．
故答案为：[-1，2]．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．