Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2-x），（x≤1）}\\{2|x-5|-2，（3≤x≤7）}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则实数a的取值范围为$[{\sqrt{3}，\sqrt{7}}）∪\left\{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}\right\}$．

Answer 1

分析 画出函数的图象，利用已知条件列出关系式，然后求解a的范围即可．

解答 解：作出如图：，
因为函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g_a}（{2-x}）}&{（{x≤1}）}\\{2|{x-5}|-2}&{（{3≤x≤7}）}\end{array}，（a＞0且a≠1）$，
的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，
所以函数y=log₂a，y=2|x-5|-2在[3，7]上有且只有一个交点，
当对数函数的图象过（3，2）点时，
由log_a3=2，解得a=$\sqrt{3}$；
当对数函数的图象过（7，2）点时，
由log_a7=2，解得a=$\sqrt{7}$．
当对数函数的图象过（5，-2）时，
由$lo{g_a}5=-2⇒a=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
所以a的取值范围为$[{\sqrt{3}，\sqrt{7}}）∪\left\{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}\right\}$．
故答案为：$[{\sqrt{3}，\sqrt{7}}）∪\left\{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}\right\}$．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的图象的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用．