Question

5．在三棱锥P-ABCD中，PA=PB=PC=2$\sqrt{6}$，AC=AB=4，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 36π
• C． 48π
• D． 24π

Answer 1

分析 在三棱锥P-ABC中，可得顶点P在底面三角形ABC的投影为底面三角形ABC的外心，取BC的中点O₁，则三棱锥P-ABC的外接球的球心O在它的高PO₁上，设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R，在Rt△AOO₁中，R²=8+（R-4）²，解得R即可．

解答 解：在三棱锥P-ABC中，由PA=PB=PC=2$\sqrt{6}$，
得顶点P在底面三角形ABC的投影为底面三角形ABC的外心，
取BC的中点O₁，则三棱锥P-ABC的外接球的球心O在它的高PO₁上，
 设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R，则PO=AO=R，由题意可得PO₁=4，OO₁=4-R，
在Rt△AOO₁中，R²=8+（R-4）²，解得R=3，所以球的表面积S=36π．
故选：B

点评 本题考查球的体积的求法，关键是求得球的半径，属于中档题．