Question

14．《九章算术》中，有鳖臑（biēnào）和刍甍（chúméng）两种几何体，鳖臑是一种三棱锥，四面都是直角三角形，刍甍是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段．在如图所示的刍甍ABCDFE中，已知平面ADFE⊥平面ABCD，EF∥AD，且四边形ADFE为等腰梯形，$AE=\sqrt{5}$，EF=3，AD=5．
（Ⅰ）试判断四面体A-BDE是否为鳖臑，并说明理由；
（Ⅱ）若AB=2，求平面BDE与平面CDF所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过E作EH⊥AD，垂足为H，由已知可得得DE⊥AE．结合四边形ABCD为矩形，得AB⊥AD，再由面面垂直的性质可得AB⊥平面ADFE，然后依次证明△BDE，△ADE，△BAE和△BAD都为直角三角形，可得四面体A-BDE为鳖臑；
（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知可得B（2，0，0），D（0，5，0），E（0，1，2），F（0，4，2），C（2，5，0）．分别求出平面BDE与平面CDF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面BDE与平面CDF所成的锐二面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）该四面体A-BDE为鳖臑．
证明过程如下：过E作EH⊥AD，垂足为H，
∵四边形ADFE为等腰梯形，$AE=\sqrt{5}$，EF=3，AD=5，
∴$EH=\sqrt{A{E^2}-A{H^2}}=2$，$DE=\sqrt{E{H^2}+D{H^2}}=2\sqrt{5}$，
∴AD²=AE²+DE²，得DE⊥AE．
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥AD，
又平面ADFE⊥平面ABCD，平面ADFE∩平面ABCD=AD，
∵AB?平面ABCD，∴AB⊥平面ADFE，
∵AE?平面ADFE，∴AB⊥AE．
∵DE?平面ADFE，∴AB⊥DE，
∵AB∩AE=A，AB、AE?平面ABE，∴DE⊥平面ABE，
又BE?平面ABE，∴DE⊥BE，
∴△BDE，△ADE，△BAE和△BAD都为直角三角形，
∴四面体A-BDE为鳖臑；
（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
由已知可得B（2，0，0），D（0，5，0），E（0，1，2），F（0，4，2），C（2，5，0）．
设平面BDE的一个法向量$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m⊥\overrightarrow{DE}}\\{\overrightarrow m⊥\overrightarrow{DB}}\end{array}}\right.$，
又$\overrightarrow{DE}=（0，-4，2）$，$\overrightarrow{DB}=（2，-5，0）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-4{y_1}+2{z_1}=0}\\{2{x_1}-5{y_1}=0}\end{array}}\right.$，令x₁=5，解得y₁=2，z₁=4，∴$\overrightarrow m=（5，2，4）$，
设平面CDF的一个法向量为$\overrightarrow n=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n⊥\overrightarrow{DC}}\\{\overrightarrow n⊥\overrightarrow{DF}}\end{array}}\right.$，
又$\overrightarrow{DC}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{DF}=（0，-1，2）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{2{x_2}=0}\\{-{y_2}+2{z_2}=0}\end{array}}\right.$，令z₂=1，得$\overrightarrow n=（0，2，1）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}$=$\frac{4+4}{{\sqrt{5}×\sqrt{25+4+16}}}=\frac{8}{15}$．
∴平面BDE与平面CDF所成的锐二面角的余弦值为$\frac{8}{15}$．

点评 本题考查线面、面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．