Question

20．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$均为单位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=0，则（$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c$）•（$\overrightarrow a+\overrightarrow c$） 的最大值是（　　）

• A． 2+2$\sqrt{2}$
• B． 3+$\sqrt{2}$
• C． 2+$\sqrt{5}$
• D． 1+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据题意可设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），
利用三角函数的图象与性质计算（$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c$）?（$\overrightarrow a+\overrightarrow c$）的最大值．

解答 解：$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$均为单位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=0，
可设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），
则（$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c$）?（$\overrightarrow a+\overrightarrow c$）=（1+cosθ，1+sinθ）•（1+cosθ，sinθ）
=（1+cosθ）²+（1+sinθ）sinθ
=2+2cosθ+sinθ
=2+$\sqrt{5}$sin（θ+α）；
当且仅当sin（θ+α）=1时取得最大值2+$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积与最值的计算问题，也考查了转化思想，是中档题．