Question

7．如图，在△OBC中，点A是BC的中点，$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{DB}$，DC和OA交于点E，则AO与OE的比值为（　　）

• A． $\frac{6}{5}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据条件可得$\overrightarrow{OE}$=$\frac{λ}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，而$\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OD}$，带入上式便可得出$\overrightarrow{OE}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OC}$，这样由C，E，D三点共线便可得到$\frac{3λ}{4}+\frac{λ}{2}$=1，从而可求出λ的值，进而便可得出AO与OE的比值

解答 解：∵O，E，A三点共线，且A是BC的中点；
∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}$；
设$\overrightarrow{OE}$=$\frac{λ}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，而$\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OD}$，
代入上式便可得出$\overrightarrow{OE}=\frac{3λ}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OC}$，
由C，E，D三点共线便可得到$\frac{3λ}{4}+\frac{λ}{2}$=1，
解得$λ=\frac{4}{5}$；
∴$\frac{5}{2}\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$；
∴$2\overrightarrow{OA}=\frac{5}{2}\overrightarrow{OE}$，则AO与OE的比值为 $\frac{5}{4}$．
故选：C

点评 考查共线向量基本定理，向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，属于中档题．