Question

18．已知圆C过点M（0，-2）和点N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（6，3）作圆C的切线，求切线方程；
（3）设直线l：y=x+m，且直线l被圆C所截得的弦为AB，满足$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设圆心C（a，b），由两点间距离公式及圆心在直线上，列出方程组，求出圆心坐标，进而求出圆半径，由此能求出圆C的方程．
（2）当切线的斜率k存在时，设过点（6，3）的切线方程为kx-y-6k+3=0，则圆心C（3，-2）到切线的距离d=$\frac{|3k+2-6k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，求出k，从而求出切线方程；当切线斜率k不存在时，切线方程为x=6，成立．由此能求出切线方程．
（3）由题意得OA⊥OB，设直线m与圆C的两交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=-y₁y₂，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{（x-3）^{2}+（y+2）^{2}=9}\end{array}\right.$，得2x²+（2m-2）x+m²+4m+4=0，由此利用韦达定理能求出直线l的方程．

解答 解：（1）∵圆C过点M（0，-2）和点N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上，
设圆心C（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（a-0）^{2}+（b+2）^{2}}=\sqrt{（a-3）^{2}+（b-1）^{2}}}\\{a+2b+1=0}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=-2．
∴r=$\sqrt{（3-0）^{2}+（-2+2）^{2}}$=3，
∴圆C的方程为（x-3）²+（y+2）²=9．
（2）当切线的斜率k存在时，
设过点（6，3）的切线方程为y-3=k（x-6），即kx-y-6k+3=0，
则圆心C（3，-2）到切线的距离d=$\frac{|3k+2-6k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，
解得k=$\frac{8}{15}$，切线方程为y-3=$\frac{8}{15}$（x-6），即8x-15y-3=0．
当切线斜率k不存在时，切线方程为x=6，成立．
综上，切线方程为8x-15y-3=0和x=6．
（3）∵直线l：y=x+m，且直线l被圆C所截得的弦为AB，满足$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴OA⊥OB，
设直线m与圆C的两交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，∴x₁x₂=-y₁y₂
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{（x-3）^{2}+（y+2）^{2}=9}\end{array}\right.$，得2x²+（2m-2）x+m²+4m+4=0，
则x₁+x₂=1-m，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}+4m+4}{2}$，
y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=${x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$，
∵x₁x₂=-y₁y₂，
∴$2{x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=0，
∴m²+4m+4+m-m²+m²=0，
整理，得m²+5m+4=0，
解得m=-1或m=-4，
∴直线l的方程为y=x-1或y=x-4．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查圆的切线方程、直线方程的求法，考查圆、直线方程、切线方程、两点间距离公式、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．