Question

12．设a＞0，b＞0，a+4b=1，则使不等式t≤$\frac{a+b}{ab}$恒成立的实数t的取值范围是（　　）

• A． t≤8
• B． t≥8
• C． t≤9
• D． t≥9

Answer 1

分析 使不等式t≤$\frac{a+b}{ab}$恒成立，转化为求$\frac{a+b}{ab}$的最小值，将已知等式与$\frac{a+b}{ab}$相乘展开，利用基本不等式求最小值，从而求出t的范围．

解答 解：因为a＞0，b＞0，所以t≤$\frac{a+b}{ab}$等价于t≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$，只需t≤（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）_min，
而$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）（a+4b）=$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$+5≥2$\sqrt{\frac{a}{b}×\frac{4b}{a}}$+5=9，
当且仅当$\frac{a}{b}$=$\frac{4b}{a}$，即a=2b=$\frac{1}{3}$时取“=”．
∴t≤9；
故选C．

点评 本题考查了基本不等式的运用；关键是巧用已知等式将所求转化为求分式的最小值．属于中档题．