Question

11．若圆锥的底面半径长为4，高为6，在这个圆锥内有一个内接圆柱，设这个圆柱的高为x，则当x取何值时，圆柱的侧面积最大（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 设圆柱的底面半径为r，由由△PDN∽△PAO，得$\frac{DN}{AO}$=$\frac{PN}{PO}$，从而求出r=$\frac{12-2x}{3}$，进而得到圆柱的侧面积S=2πr•x=-$\frac{4π}{3}$（x-3）²+12π，（0＜x＜6）．由此能求出结果．

解答 解：如图，设圆柱的底面半径为r，
则由△PDN∽△PAO，得$\frac{DN}{AO}$=$\frac{PN}{PO}$
即$\frac{r}{4}=\frac{6-x}{6}$，解得r=$\frac{12-2x}{3}$，
∴圆柱的侧面积S=2πr•x=-$\frac{4}{3}π{x}^{2}$+8πx=-$\frac{4π}{3}$（x-3）²+12π，（0＜x＜6）．
∴当x=3时，圆柱的侧面积取最大值S_max=12π．…（12分）
故选：B．

点评 本题考查圆柱的侧面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆锥、圆柱的性质的合理运用．