Question

2．在直角坐标系中，已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}}$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极曲线C的极坐标方程为ρ²（1+2sin²θ）=18，且曲线C的左焦点F在直线l上．
（1）求实数m的值；
（2）求曲线C的内接矩形的周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；
（2）内接矩形位于第一象限的顶点坐标为（3$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{6}$sinθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长，再利用辅助角公式化简此周长，利用正弦函数的值域求出此周长的最大值．

解答 解：（1）在直角坐标系中，已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}}$（t为参数），化为普通方程为4x-3y-4m=0，
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极曲线C的极坐标方程为ρ²（1+2sin²θ）=18，
化为普通方程为x²+3y²=18，即$\frac{{x}^{2}}{18}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，故此椭圆的左焦点F（-2$\sqrt{3}$，0）．
∵曲线C的左焦点F在直线l上，∴-8$\sqrt{3}$-0-4m=0，∴m=-2$\sqrt{3}$．．
（2）根据椭圆的对称性，设它的内接矩形位于第一象限的顶点坐标为（3$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{6}$sinθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
则其他定点的坐标分别为（-3$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{6}$sinθ），（-3$\sqrt{2}$cosθ，-$\sqrt{6}$sinθ），（3$\sqrt{2}$cosθ，-$\sqrt{6}$sinθ），
故该矩形的一边长为 6$\sqrt{2}$cosθ，另一边长为2$\sqrt{6}$sinθ，
故曲线C的内接矩形的周长为2×（6$\sqrt{2}$cosθ+2$\sqrt{6}$sinθ）=8$\sqrt{6}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）=8$\sqrt{6}$sin（θ+$\frac{π}{3}$），
故当θ=$\frac{π}{6}$时，曲线C的内接矩形的周长取得最大值为8$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，椭圆的简单几何性质，正弦函数的值域，辅助角公式，函数的最值，属于中档题．