Question

4．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的方程为$\sqrt{3}$x$+y-3\sqrt{3}$=0，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系
（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程
（Ⅱ）若射线OM：θ=$\frac{π}{3}$与圆C交于点O，P，与直线l交于点Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （I）把cos²φ+sin²φ=1代入圆C的参数方程，消去参数化为普通方程，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）联立方程组，求出交点坐标，从而求出线段PQ的长即可．

解答 解：（I）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
消去参数化为普通方程：（x-1）²+y²=1，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$ 代入可得圆C的极坐标方程：ρ=2cosθ．
∵直线l的方程为$\sqrt{3}$x$+y-3\sqrt{3}$=0，
∴直线l的极坐标方程式2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=3$\sqrt{3}$；
（II）设P（ρ₁，θ₁），则$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₁=1，θ₁=$\frac{π}{3}$，
设Q（ρ，θ），则$\left\{\begin{array}{l}{2ρ（sinθ+\sqrt{3}cosθ）=3\sqrt{3}}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ=$\frac{3}{2}$，θ=$\frac{π}{3}$，
∴|PQ|=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、弦长问题，考查了计算能力，属于中档题．