Question

7．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为（1-sin²θ）•ρ=sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x的正方向建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）若点M的直角坐标为（-1，0），直线l与曲线C交于A，B两点，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出直线的极坐标方程，以及将极坐标方程转化为直角坐标方程即可；
（Ⅱ）法一：联立直线和曲线，设出A、B的坐标，表示出|MA|，|MB|，求值即可；法二：根据参数的结合意义计算即可．

解答 解：（Ⅰ）直线l的普通方程为方程为x-y+1=0，
故直线l的极坐标方程为$\sqrt{2}ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-1$；              （3分）
曲线C的直角坐标方程为y=x²（6分）
（Ⅱ）$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{y={x^2}}\end{array}⇒{x^2}-x-1=0，⇒{x_1}=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}，或{x_2}=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
不妨设$A（{\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{3}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}}），B（{\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{3}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$，
所以$|{MA}|=\sqrt{2}（{\frac{3}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$，$|{MB}|=\sqrt{2}（{\frac{3}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$，
所以|MA|•|MB|=2（12分）
另法：由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}代入y={x^2}⇒{t^2}-3\sqrt{2}t+2=0$，
由t的几何意义得|MA|•|MB|=2（12分）

点评 本题考查了极坐标、直角坐标以及参数方程的转化，考查参数的几何意义以及转化思想，是一道中档题．