Question

5．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosC=2b-$\sqrt{3}$c．
（1）求角A；
（2）若B=$\frac{π}{6}$，且BC边上的中线AM的长为$\sqrt{7}$，求边长b．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，由条件利用正弦定理可得2cosAsinC=$\sqrt{3}$sinC，化简可得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此求得A的值．
（2）设等腰三角形腰长为x，即AC=BC=x，CM=$\frac{1}{2}$x，在三角形ACM中，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC的长．

解答 解：（1）△ABC中，∵2acosC=2b-$\sqrt{3}$c．
∴由正弦定理得：2sinB-$\sqrt{3}$sinC=2sinAcosC，
∵2sinB=2sin（A+C）=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴化简可得：2cosAsinC=$\sqrt{3}$sinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{6}$；
（2）由A=B=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{2π}{3}$，
设等腰三角形腰长为x，即AC=BC=x，CM=$\frac{1}{2}$x，
在△ACM中，由余弦定理得：AM²=AC²+CM²-2AC•CM•cosC，
即7=x²+$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x²，
解得：x=2，
则b=2．

点评 此题考查了正弦、余弦定理的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．