Question

20．已知圆C的方程是x²+y²-2y+m=0．
（I）  如果圆C与直线y=0没有公共点，求实数m的取值范围；
（II） 如果圆C过坐标原点，直线l过点P（0，a） （0≤a≤2），且与圆C交于A，B两点，对于每一个确定的a，当△ABC的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含a的代数式表示u，试求u的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化圆的方程为标准方程得x²+（y-1）²=1-m．结合题意可得0＜1-m＜1，从而求得实数m的取值范围；
（Ⅱ）∵圆C过坐标原点，可得m=0，则圆C的方程为x²+（y-1）²=1．当a=1时，直线l经过圆心C，△ABC不存在，故a∈[0，1）∪（1，2]．由题意可设直线l的方程为y=kx+a，△ABC的面积为S，由三角形面积公式可得S=$\frac{1}{2}$sin∠ACB，转化为点C到直线l的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{|a-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．求得a的范围，然后分类求出直线l的斜率的平方为u，利用二次函数求最值可得u的最大值是1．

解答 解：（Ⅰ）由x²+y²-2y+m=0，可得x²+（y-1）²=1-m．
∵x²+（y-1）²=1-m表示圆，
∴1-m＞0，即m＜1．
又∵圆C与直线y=0无公共点，
∴1-m＜1，即m＞0．
综上，实数m的取值范围为0＜m＜1；
（Ⅱ）∵圆C过坐标原点，∴m=0，则圆C的方程为x²+（y-1）²=1．
圆心C（0，1），半径为1．
当a=1时，直线l经过圆心C，△ABC不存在，故a∈[0，1）∪（1，2]．
由题意可设直线l的方程为y=kx+a，△ABC的面积为S，
则S=$\frac{1}{2}$|CA|•|CB|•sin∠ACB=$\frac{1}{2}$sin∠ACB，∴当sin∠ACB最大时，S取得最大值．
要使sin$∠ACB=\frac{π}{2}$，只需点C到直线l的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{|a-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
整理得：k²=2（a-1）²-1≥0，解得$a≤1-\frac{\sqrt{2}}{2}$或a$≥1+\frac{\sqrt{2}}{2}$．
①当a∈[0，$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2]时，sin∠ACB最大值是1，此时k²=2a²-4a+1，即u=2a²-4a+1．
②当a∈（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）∪（1，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，∠ACB∈（$\frac{π}{2}，π$）．
∵y=sinx是（$\frac{π}{2}，π$）上的减函数，∴当∠ACB最小时，sin∠ACB最大．
过C作CD⊥AB于D，则$∠ACD=\frac{1}{2}∠ACB$，∴当∠ACD最大时，∠ACB最小．
∵$sin∠CAD=\frac{|CD|}{|CA|}$，且∠CAD∈（0，$\frac{π}{2}$），∴当|CD|最大时，sin∠CAD取得最大值，即∠CAD最大．
∵|CD|≤|CP|，∴当CP⊥l时，|CD|取得最大值|CP|．
∴当△ABC的面积最大时，直线l的斜率k=0，∴u=0．
综上所述，u=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}-4a+1，a∈[0，1-\frac{\sqrt{2}}{2}]∪[1+\frac{\sqrt{2}}{2}，2]}\\{0，a∈（1-\frac{\sqrt{2}}{2}，1）∪（1，1+\frac{\sqrt{2}}{2}）}\end{array}\right.$．
1°a∈[0，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2]，u=2a²-4a+1=2（a-1）²-1，当a=2或a=0时，u取得最大值1．
2°a∈（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）∪（1，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），u=0．
由1°、2°得，u的最大值是1．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，训练了函数值域的求法，综合性强，难度大．