Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC=2，M为PB的中点，平面ADM交PC于N点．
（1）求证：PB⊥DN；
（2）求二面角P-DN-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得PB⊥MA，DA⊥AB，从而得到DA⊥PA．再由PB⊥DA，得PB⊥平面ADNM，由此能证明PB⊥DN；
（2）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，然后分别求出平面PDN与DNA的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值即可求得二面角P-DN-A的余弦值．

解答 （1）证明：∵M为PB的中点，且PA=AB，∴PB⊥MA．
∵∠BAD=90°，∴DA⊥AB．
∵PA⊥底面ABCD，∴DA⊥PA．
∵PA∩AB=A，∴DA⊥平面PAB，则PB⊥DA．
∵AM∩DA=A，∴PB⊥平面ADNM，
∵DN?平面ADNM，∴PB⊥DN；
（2）解：如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），
P（0，0，2）．
由（1）知，PB⊥平面ADNM，∴平面ADNM的法向量为
$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，2）．
设平面PDN的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x+y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，令z=2，则y=2，x=1．
∴$\overrightarrow{n}$=（1，2，2），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BP}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴二面角P-DN-A的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查线线平行、线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．