Question

19．已知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线$\sqrt{3}$x+y-4=0平行，则双曲线C的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，设双曲线C的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，由此可得其渐近线方程，又由双曲线C的一条渐近线与直线$\sqrt{3}$x+y-4=0平行，分析可得$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，即a=$\sqrt{3}$b，结合双曲线的几何性质可得c=2b，由双曲线的离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，由于双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，
设其方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，其渐近线方程为：y=±$\frac{a}{b}$x，
又由双曲线C的一条渐近线与直线$\sqrt{3}$x+y-4=0平行，
则有$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，即a=$\sqrt{3}$b，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2b，
则其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握由双曲线的渐近线求离心率的方法．