Question

5．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ是参数，0≤φ≤π），以O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l₁的极坐标方程是2ρsin（$θ+\frac{π}{3}$）$+3\sqrt{3}=0$，直线l₂：$θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）与曲线C的交点为P，与直线l₁的交点为Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C的参数方程消去参数φ，能求出曲线C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的极坐标方程．
（Ⅱ）设P（ρ₁，θ₁），Q（ρ₂，θ₂），列方程组求出ρ₁，ρ₂，由|PQ|=|ρ₁-ρ₂|，能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ是参数，0≤φ≤π），
∴消去参数φ，得曲线C的普通方程为（x-1）²+y²=3，其中0≤y≤$\sqrt{3}$，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲线C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-2=0，其中0≤θ≤π．
（Ⅱ）设P（ρ₁，θ₁），则$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}-2ρcosθ-2=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，
解得${ρ}_{1}=2，θ=\frac{π}{3}$，
设Q（ρ₂，θ₂），则$\left\{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{3}）+3\sqrt{3}=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，
解得${ρ}_{2}=-3，{θ}_{2}=\frac{π}{3}$，
∴|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=5．

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．