Question

13．已知函数f（x）=x³+bx²+ax-b²-7b在x=1处取极大值10，则$\frac{b}{a}$的值为（　　）

• A． -2
• B． -$\frac{2}{3}$
• C． -2或-$\frac{2}{3}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 由于f′（x）=3x²+2bx+a，依题意知，f′（1）=3+2b+a=0，f（1）=1+b+a-b²-7b=10，于是有a=-3-2b，代入f（1）=10即可求得a，b，从而可得答案．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+ax-b²-7b，
∴f′（x）=3x²+2bx+a，
又f（x）=x³+bx²+ax-b²-7b在x=1处取得极大值10，
∴f′（1）=3+2b+a=0，f（1）=1+b+a-b²-7b=10，
∴b²+8b+12=0，
∴b=-2，a=1或b=-6，a=9．
当b=-2，a=1时，f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
当$\frac{1}{3}$＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；
当b=-6，a=9时，f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；
∴$\frac{b}{a}$=-$\frac{6}{9}$=-$\frac{2}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查函数在某点取得极值的条件，求得f′（x）=3x²+2bx+a，利用f′（1）=0，f（1）=10求得a，b是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．