Question

4．若集合A={x|0≤2x-1≤1}．B={x|y=$\sqrt{4x-3}$+lg（7-x）}，集合C={x|x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0}
（Ⅰ）求A∪B
（Ⅱ）若A⊆C，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．
（Ⅱ）先分别求出集合A和集合C，由A⊆C，列出不等式组，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵集合A={x|0≤2x-1≤1}={x|$\frac{1}{2}≤x≤1$}，
B={x|y=$\sqrt{4x-3}$+lg（7-x）}={x|$\frac{3}{4}≤x＜7$}，
∴A∪B={x|$\frac{1}{2}≤x＜7$}．
（Ⅱ）∵集合A={x|0≤2x-1≤1}={x|$\frac{1}{2}≤x≤1$}，
集合C={x|x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0}={x|（x-a）[x-（a+1）]≤0}={x|a≤x≤a+1}，
A⊆C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{a+1≥1}\end{array}\right.$，解得0$≤a≤\frac{1}{2}$．
∴实数a的取值范围是[0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集、集合的包含关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．