Question

12．已知A（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{7}{4}$），B（3$\sqrt{2}$，$\frac{5}{2}$），动点P满足|PB|=2|PA|，P的轨迹为曲线C，y轴左侧的点E在直线AB上，圆心为E的圆与x轴相切，且被轴截得的弦长为$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求C和圆E的方程
（Ⅱ）若直线l与圆E相切，且与C恰有一个公共点，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）设动点P（x，y），动点P满足|PB|=2|PA|，可得：${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{2}x-3y+2=0$，直线AB的方程：x-2$\sqrt{2}$y+2$\sqrt{2}$=0，设圆E的圆心为E（a，b），则有a-2$\sqrt{2}$b+2$\sqrt{2}$=0，（a＜0），r²=b²，r²=a²+$\frac{1}{16}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，即可．
（2）由（1）得两圆都与x轴相切（如图）依题意，直线l圆C和圆E的公切线，设两条公切线的交点为P（t，0）
由P，E，C三点共线，可得$\frac{\frac{3}{2}-\frac{3}{4}}{\sqrt{2}-（-\frac{\sqrt{2}}{2}）}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2}-t}$，可得t=-2$\sqrt{2}$，切线PM的斜率是直线EC的斜率的2倍，可得直线l的方程．

解答 解：（1）设动点P（x，y），动点P满足|PB|=2|PA|，
则（x-3$\sqrt{2}$）²+（y-$\frac{5}{2}$）²=4[（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{7}{4}$）²]，化简得：${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{2}x-3y+2=0$，
直线AB的斜率为k_AB=$\frac{\frac{5}{2}-\frac{7}{4}}{3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
∴直线AB的方程：x-2$\sqrt{2}$y+2$\sqrt{2}$=0
设圆E的圆心为E（a，b），则有a-2$\sqrt{2}$b+2$\sqrt{2}$=0，（a＜0）
r²=b²，r²=a²+$\frac{1}{16}$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，圆E：（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{3}{4}$）²=$\frac{9}{16}$
曲线C：${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{2}x-3y+2=0$，
圆E：（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{3}{4}$）²=$\frac{9}{16}$；
（2）由（1）得曲线C是圆心为C（$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$），半径为$\frac{3}{2}$的圆，
圆E是圆心为E（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{4}$），半径为$\frac{3}{4}$的圆
两圆都与x轴相切（如图）
依题意，直线l圆C和圆E的公切线
设两条公切线的交点为P（t，0）
由P，E，C三点共线，可得$\frac{\frac{3}{2}-\frac{3}{4}}{\sqrt{2}-（-\frac{\sqrt{2}}{2}）}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2}-t}$，可得t=-2$\sqrt{2}$
切线PM的斜率是直线EC的斜率的2倍，
∵${k}_{EC}=\frac{3}{\frac{2}{3\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴${k}_{PM}=\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{4}}{1-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{7}$
由点斜式可得PM：y=$\frac{4\sqrt{2}}{7}（x+2\sqrt{2}$）
综上，直线l的方程为：y=$\frac{4\sqrt{2}}{7}（x+2\sqrt{2}$）或y=0．

点评 本题考查了动点的轨迹、圆的方程，两圆的公切线方程，属于中档题．