Question

6．设G是三角形的重心，且$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{BG}$=0，若存在实数λ，使得$\frac{1}{tanA}$，$\frac{λ}{tanC}$，$\frac{1}{tanB}$依次成等差数列，则实数λ为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 利用G点为△ABC的重心，且$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{BG}$=0，进一步得到用 $\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{BC}$表示，得到三边关系，将所求转化为三角的弦函数表示整理即得可．

解答 解：G为三角形ABC的重心，且$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{BG}$=0，
∴$\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}$•$\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{3}$=0，
即 $\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}$•$\frac{\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}}{3}$=0，∴b²-2c²-2bc•cosA=0．
又$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{2λ}{tanC}$，
即 $\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{2λcosC}{sinC}$，
∴2λ=（ $\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$）•$\frac{sinC}{cosC}$
=$\frac{sinBcosA+cosBsinA}{sinAsinB}$•$\frac{sinC}{cosC}$
=$\frac{sin（A+B）}{sinAsinB}$•$\frac{sinC}{cosC}$
=$\frac{sin2C}{sinAsinBcosC}$
=$\frac{{c}^{2}}{ab•\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}}$=$\frac{1}{2}$，
故λ=$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了三角形重心的性质以及数量积的运算和余弦定理的运用；关键是得到三边的关系，属于中档题．