Question

11．已知cos（$\frac{π}{4}$+α）=-$\frac{3}{5}$，且α是第三象限角，则cos（$\frac{π}{4}$+2α）的值为（　　）

• A． $\frac{31}{50}$$\sqrt{2}$
• B． $\frac{17}{50}$$\sqrt{2}$
• C． -$\frac{17}{50}$$\sqrt{2}$
• D． -$\frac{31}{50}$$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知可求范围$\frac{5π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+$\frac{π}{4}$）的值，利用诱导公式，二倍角公式可求cos2α，sin2α的值，进而利用两角和的余弦函数公式即可求得cos（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：cos（2α+$\frac{π}{4}$）=cos2αcos$\frac{π}{4}$-sin2αsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos2α-sin2α）．
∵cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{3}{5}$，π＜α＜$\frac{3π}{2}$，可得：$\frac{5π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴从而cos2α=sin（2α+$\frac{π}{2}$）=2sin（α+$\frac{π}{4}$）cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{24}{25}$，
sin2α=-cos（2α+$\frac{π}{2}$）=1-2cos²（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{7}{25}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{24}{25}$-$\frac{7}{25}$）=$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．