Question

5．若不等式a≤$\frac{1-x}{x}$+1nx对于任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，ln2-$\frac{1}{2}$]
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，ln2-$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由题意设f（x）=$\frac{1-x}{x}$+1nx，x∈[$\frac{1}{2}$，2]．利用导数求其最小值得答案．

解答 解：设f（x）=$\frac{1-x}{x}$+1nx=$\frac{1}{x}+lnx-1$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]．
则f′（x）=$-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1．
则f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．
∴f（x）_min=f（1）=1+lni-1=0．
∵不等式a≤$\frac{1-x}{x}$+1nx对于任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
∴a≤f（x）_min=0．
即a≤0．
∴a的取值范围是（-∞，0]．
故选：A．

点评 本题考查恒成立问题，考查利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．